Sessão de Homenagem a Bento de Jesus Caraça
9 de Junho de 2000
Cidade de SEIA

CONCEITOS FUNDAMENTAIS DA MATEMÁTICA
Algumas reflexões sobre o seu conteúdo e alcance pedagógico

Guida Lami Dias da Silva
Engenheira

1ª PARTE

Ao ser convidada para participar nesta sessão de homenagem a Bento de Jesus Caraça organizada pelo Pólo de Seia do Instituto Politécnico da Guarda, com uma palestra tendo como tema os “Conceitos Fundamentais da Matemática”, hesitei longamente em aceitar tão amável convite e devo dizer que estive perto de recusar. 

Eram duas as razões que me levaram a pensar assim: por um lado, pareceu-me ousadia, eu que não sou matemática, falar para uma assembleia de especialistas, de professores ou de formandos em matemática, que esperam de mim, provavelmente, aquilo que eu não posso dar, ou seja, um discurso especializado na matéria. A segunda razão relaciona-se com a essência do próprio livro. De facto, a vastidão, a profundidade e o alcance dos conceitos contidos nas suas páginas, a densidade de uma obra que, parecendo simples, é complexa na sua estrutura e nas suas relações com outras ciências – como a história, a filosofia, a astronomia, a música, e não só – tornam praticamente impossível conter, numas curtas páginas, as reflexões que as mesmas suscitam para, ao longo de escasso tempo, tentar tornar este auditório sensível a um dos mais belos livros de divulgação matemática que se têm escrito em Portugal.

Contudo, em contraposição a esta atitude negativa, vieram as outras razões. Na verdade, eu não poderia, de nenhuma forma, deixar hoje de estar aqui presente. Pelo facto de ter acompanhado, de várias maneiras, Bento Caraça na preparação dos textos, na discussão de algumas ideias e na execução da parte gráfica dos Conceitos Fundamentais da Matemática, o meu testemunho vivo pode apresentar algum interesse para este auditório.

As considerações que farei sobre o conteúdo e alcance pedagógico dos Conceitos Fundamentais da Matemática são justamente aquelas que, realçando o grande interesse desta obra, estão de harmonia com o pensamento de Bento Caraça quando escreveu, menos de um ano antes da sua morte, ao referir-se ao interesse de uma outra obra, publicada também por sua iniciativa:

“Que esse interesse seja índice dos reais serviços prestados aos seus leitores e, através deles, a uma causa pela qual lutamos há muitos anos: a criação de uma mentalidade livre e de tonalidade científica entre os cidadãos portugueses.”

(1º Volume do “Panorama da Ciência Contemporânea”, Biblioteca Cosmos Gigante)

No prefácio à 1ª edição, com o qual Bento Caraça inicia o 1º volume dos Conceitos Fundamentais da Matemática, num simples encadeado de ideias que constituem afinal a definição cristalina de toda a obra, bem como da filosofia que presidiu à sua realização, afirma Bento Caraça a sua atitude face à Ciência, da qual a matemática, embora com problemas próprios, faz parte integrante:

“ A ciência, encarada assim, aparece-nos, como um organismo vivo, impregnado de condição humana, com as suas forças e as suas fraquezas e subordinada às grandes necessidades do homem na sua luta pelo entendimento e pela libertação; aparece-nos, enfim, como um grande capítulo da vida humana e social.”

E, mais adiante:

“Sem dúvida, a matemática possui problemas próprios… mas não há dúvida também de que os seus fundamentos mergulham, tanto como os de outro qualquer ramo da Ciência, na vida real; uns e outros entroncam na mesma madre.”

Dentro desta linha de pensamento, Bento Caraça mergulhou profundamente no estudo da Ciência e, em particular, da História e da Filosofia, tendo, a partir desses estudos, podido abordar, como ele próprio diz “os conceitos básicos de noção de quantidade, de lei, de evolução e de classificação”.

Dentro deste conceito, obediente à ideia de que a vida é a base de inserção de todas as coisas, Bento Caraça deixa transparecer, ao longo das três partes em que se encontram subdivididos os Conceitos Fundamentais da Matemática, aquilo que a meu ver, constitui a grande diferença deste livro relativamente a todos quantos se têm escrito com o objectivo de divulgação matemática: a ideia de que a vida é a base de inserção de todas as coisas, aquilo a que ele chama madre, e de que o homem, com todo o seu cortejo de problemas, de visões, de interpretações e de lutas é, em última análise, o agente que transporta o facho que, ao longo dos séculos, iluminou o edifício da matemática por ele construído.

No capítulo que intitula “Ciência e Lei Natural” Bento Caraça escreve:

“O objectivo final da Ciência é, portanto, a formação de um quadro ordenado e explicativo dos fenómenos naturais – fenómenos do mundo físico e do mundo humano, individual e social.”

E mais adiante:

“Em nenhum momento, o homem de ciência pode dizer que atingiu a faceta última da realidade; o mais que pode desejar é dar uma descrição, uma imagem que satisfaça às duas exigências fundamentais (ou seja a interpretação e a previsão).

E mais adiante ainda:

“E é esta acção recíproca, tantas vezes desconhecida ou desdenhada por certos homens de ciência e certos filósofos que vai a todo o momento tecendo a Ciência, fazendo dela esse maravilhoso instrumento humano, instrumento de luta, sempre incompleto, constantemente aperfeiçoado.”

Noutro capítulo, dedicado à definição analítica de função, Bento Caraça escreveu:

“O matemático é um ser humano, com os mesmos defeitos e as mesmas limitações de outros seres humanos”…

        A propósito do Teorema Fundamental da Álgebra, tratado no capítulo INTERACÇÃO, Bento Caraça escreve:

“Do aparecimento dos complexos ao estabelecimento destes resultados – isto é “ toda a equação algébrica tem uma raiz real, ou complexa” – vão mais de dois séculos – dois séculos de trabalho duro, em que alguns dos resultados pressentidos pela intuição foram confirmados, e outros não. Vamos falar, a traços muito largos, de um destes últimos, que constitui um autêntico drama da história da matemática, drama até pela vida das pessoas que nele desempenharam os primeiros papeis.” Referia-se, é claro, a Niels Abel e a Evaristo Galois.

A propósito da “incapacidade da ciência grega para construir o conceito de função” tal como refere no capítulo I, Bento Caraça escreve:

“E aqui tem o leitor um exemplo, possivelmente o mais importante de todos, de como a matemática, do mesmo modo que toda a construção humana, depende do conjunto de condições sociais em que os seus instrumentos têm de actuar. Subordinação que não a humilha, antes a engrandece.”

  Ao longo de todo o livro sucedem-se parágrafos, citações, conceitos, definições, diálogos entre autor e o leitor, em que se evidencia, de uma forma muito clara e incisiva, este “Tom Geral“ de toda a obra: a de que, como se disse, a vida é a base de inserção de todas as coisas e o Homem é o seu artífice.”

        Tendo subjacente a toda a redacção do livro esta faceta humana, tendo como objectivo conseguir esse contacto humano entre o leitor e o autor, Bento Caraça adoptou três caminhos que ou seguem paralelos, ou se sobrepõem ou se entrecruzam:

1º   o livro está redigido sob a forma de diálogo entre leitor e autor. Este último questiona o primeiro, como se de uma conversa se tratasse. Diálogo no qual está sempre presente a preocupação de que o aluno (o Leitor) tenha compreendido o que está para trás e, de certo modo, possa antecipar o que vem a seguir.

Encontra-se aqui a forma heraclitiana do permanente devir de todas as coisas;

2º   Bento Caraça mergulhou profundamente nas correntes filosóficas e nos acontecimentos históricos que, ao longo da estruturação do edifício da matemática, contribuíram para a definição dos conceitos, evidenciando sempre que se tratou de uma evolução muitas vezes dolorosa, não isenta de contradições e de recuos;

3º   a evolução dos conceitos e das correntes matemáticas surge de uma maneira coerente e lógica. Bento Caraça não deixa, ao longo das páginas dos Conceitos Fundamentais da Matemática, de salientar alguns dos seus pontos altos, sem no entanto deixar de referir algumas situações absurdas, em que a evolução das coisas se operou de maneira bem diferente do que seria lógico.

2ª PARTE

Quando, no Verão de 1933, conheci Bento Jesus Caraça por intermédio de um amigo comum, o meu primo Dr. Joaquim Jacobetty Rosa, economista, autor da mais conhecida e parecida fotografia de Bento Caraça, que aliás figura na contra-capa dos Conceitos Fundamentais, na conversa então estabelecida, eu, aluna do 3º ano do Liceu Maria Amália Vaz de Carvalho, e ele professor do Instituto Superior de Ciências Económicas e Financeiras, Bento Caraça fez-me aquelas perguntas que é costume fazer aos estudantes: em que Liceu anda, em que ano anda, quais as disciplinas de que mais gosta, e assim por diante. Lembro-me que a minha resposta foi lapidar: “Gosto de tudo menos de matemática…”. A resposta de Bento Caraça foi igualmente lapidar: “Não gosta mas vai passar a gostar; todos podem gostar de matemática  “. E assim aconteceu.

No fim dessas já tão distantes férias passadas na Caparica e em outras que se lhe seguiram, as equações de 1º e 2º grau deixaram de ter segredos para mim e esse misterioso binómio discriminante que antes me aparecia como um ser imprevisível passou a ter uma leitura clara quer se apresentasse positivo, quer negativo. Quando negativo, aprendi que as raízes da equação eram “imaginárias”. Bento Caraça não queria que eu dissesse “imaginárias”. “Imaginário é o que não existe; essas raízes existem tanto como as outras; são apenas diferentes”. Interiorizei também, sem problemas, o que é um número transcendente. Através de círculos em cartolina que Bento Caraça me fazia construir e dos respectivos perímetros que eu media com pedaços de cordel, apareceu, luminoso e sempre igual a si próprio, esse misterioso π, que Bento Caraça me fez conhecer, dizendo-me que existiam outros com as mesmas características de transcendência que só mais tarde me seriam apresentados. Lembro-me que, ainda nesse mesmo Verão, Bento Caraça me ensinou como pode ser belo o cálculo logarítmico. Foi a sua velha tábua de logaritmos que serviu esses meus primeiros voos no mundo dos logaritmos e me permitiu encher páginas e páginas de cálculos e contas que, no fim, eram como que um rendilhado abstracto no qual poucas pessoas entravam. Seguiu-se depois a primeira abordagem do mundo das funções, com representações analíticas e gráficas, feitas em papel milimétrico transparente, onde eu registava diariamente, de manhã e de tarde, a horas certas, a temperatura da água do mar, medida com um termómetro que Bento Caraça comprara para o efeito. Foram todos os cambiantes da matemática que, ao longo de muitos anos, conheci através das lições de Bento Caraça. Aprendi a gostar de matemática. Nas cadeiras do curso geral de engenharia do Instituto Superior Técnico ligadas à matemática – Matemáticas Gerais, Cálculo Geral e Mecânica Racional – regidas então pelos professores Ferreira de Macedo e Mira Fernandes – consegui marcar uma posição de primeira linha entre os alunos mais classificados. E foram muitos, também, todos os ensinamentos no domínio do conhecimento literário e científico que dele recebi e que contribuíram, de facto, para uma cultura geral sólida que muito útil foi para a aquisição da cultura técnica inerente ao curso de engenharia.

Nos finais da década de 30 – anos 38, 39 – os Conceitos Fundamentais da Matemática já se encontravam em gestação adiantada, tendo eu começado a fazer os desenhos correspondentes a cada capítulo, à medida que o Bento Caraça os ia escrevendo, nos anos 40 e 41.

Os Conceitos Fundamentais da Matemática estavam destinados a ser uma das pedras angulares do edifício constituído pela Biblioteca Cosmos, cujo projecto, por essa época, estava também já delineado.

Não quero deixar de fazer aqui um reparo sobre o que significou, para Bento Caraça, a publicação da Biblioteca Cosmos. Há muito que ele acalentava a ideia de construir uma biblioteca popular a qual, sem deixar de ser científica, fosse concebida e redigida de modo a permitir ao homem vulgar, ao não especialista, tomar consciência do mundo que o rodeia e principalmente facultar àqueles que não tinham meios económicos suficientes, adquirir bons livros a baixos preços. Tal tarefa foi difícil e esgotou muitas das suas energias. Nem sempre era fácil encontrar os autores para tratar os vários temas, havendo então que recorrer a traduções de obras que tinham de ser habilmente escolhidas com o objectivo de se enquadrarem no espírito geral da Biblioteca. Pode dizer-se que nenhum dos domínios da ciência, da história, da filosofia, da música, da geografia, da literatura, etc. que dominaram o tempo de Bento Caraça há seis décadas atrás, ficou por tratar.

Os Conceitos Fundamentais da Matemática constituíram a pedra angular da Biblioteca Cosmos e representaram para Bento Caraça, não direi a coroação da sua obra, mas algo que ele não queria deixar de fazer, como legado às futuras gerações e como afirmação da sua convicção mais íntima, isto é: todos podem gostar de matemática.

A perspectiva sob a qual Bento Caraça considerava o seu próprio livro está contudo claramente definida no §22 do Cap. III – Equações algébricas e números complexos (Parte II) – Passo a citar:

“Não se faz ideia, à primeira vista, da quantidade e importância de domínios novos que a criação dos complexos permite abrir. A noção de complexo e a noção de infinito são dois dos principais instrumentos da matemática moderna e, no emprego generalizado desses instrumentos, reside talvez a sua maior diferença em relação à matemática antiga. Tendo trazido o leitor, através de uma curta digressão técnica, até às fronteiras desta construção grandiosa, detemo-nos aqui. O servir-lhe de cicerone em tais domínios é missão de outros que não deste livrinho de vulgarização”.

Posição de uma inegável modéstia que aliás caracterizou Bento Caraça ao longo da sua vida, apesar de ter atingido as mais altas esferas do domínio do conhecimento.

3ª PARTE

Procurarei, agora, no tempo que ainda tenho disponível, fazer uma análise, embora breve, do conteúdo dos Conceitos Fundamentais da Matemática.

Das três partes que constituem o livro, foram publicadas, em vida do autor, apenas as duas primeiras: PARTE I – NÚMEROS; PARTE II – FUNÇÕES. A terceira parte – CONTINUIDADE, só foi publicada em 1951, em conjunto com as duas primeiras, três anos decorridos sobre o desaparecimento do autor. Contudo, ela estava pronta muito antes dessa data; os desenhos que acompanham o texto tinham sido feitos anteriormente ao ano de 1942. Assim, a partir de 1951 a obra no seu todo – a que o autor chamava “livrinho de vulgarização” – pôde ser apreciada no seu conjunto.

I – Na PARTE I – a que deu o título genérico de Números, Bento Caraça conduz o leitor através dos problemas da contagem, da medida, do campo real e dos números relativos, relacionando sempre definições e conceitos com a base de inserção histórica que aos mesmos correspondem.

Entre os três primeiros e os dois últimos temas – como que para facultar ao leitor uma pausa que lhe permita assimilar melhor o que leu e preparar-se para o que vem a seguir - Bento Caraça introduz um capítulo a que chamou “UM POUCO DE HISTÓRIA”. Aqui, referindo as preocupações da Humanidade relativas à inteligibilidade do UNIVERSO, Bento Caraça comenta as respostas das várias escolas filosóficas gregas, desde as respostas Jónicas, como THALES, ANAXIMANDRO e ANAXIMENES de Mileto, que consideravam, como elementos fundamentais do UNIVERSO, a Terra, o Ar, a Água e o Fogo, à resposta de HERACLITO de EFESO, para cuja escola a transformação incessante, o DEVIR, constitui a essência de todas as coisas, que constantemente se transformam para dar lugar a outras. “Não te lavarás duas vezes nas mesmas águas do mesmo rio…”

Com Pitágoras de SAMOS de quem pouco se sabe, nasceu na Grécia uma seita, que foi denominada “escola pitagórica” para a qual todas as coisas têm um número e nada se pode compreender sem o número. Parece uma ideia grandiosa, da qual resultaria que a compreensão do UNIVERSO consiste no estabelecimento de leis matemáticas que conduzam à ordenação matemática do COSMOS. Contudo, aparece depois o lado negativo desta concepção, que resultou de se terem atribuído aos números propriedades fora da sua propriedade fundamental de traduzir relações entre quantidades. Assim, o lado positivo da concepção pitagórica, poderia ter levado às mais luminosas realizações da ciência; mas o seu lado negativo, e cito Bento Caraça numa frase que considero deliciosa, “levou ao misticismo confuso que hoje se refugia nas alfurjas onde se deitam cartas e se lêem sinas”.

A escola pitagórica foi brutalmente desmentida e foi, estranhamente, através da mais bela das suas conquistas – o teorema de Pitágoras – que o desmentido foi pronunciado.

A polémica foi conduzida por uma nova escola filosófica – a escola de Elea – cujos expoentes mais conhecidos foram Parménides e Zenão.

A construção pitagórica, que se baseava na existência das “mónadas”, foi abalada e destruída pelas críticas de Parménides que defendiam as ideias de “homogeneidade” e “continuidade”.

Também Heraclito, que via na transformação permanente, ou seja no DEVIR, a essência das coisas, foi duramente criticado. Dizia PARMÉNIDES: “como é possível que aquilo que é possa vir a ser? Se foi, não é; e também não é se está a ponto de vir a ser no futuro.”

Opondo a razão à opinião, Parménides abriu um debate de uma importância excepcional, que até hoje tem estado na base de todo o movimento científico: as relações entre a razão e a experimentação, entre a teoria e a prática, entre o idealismo e o materialismo.

Só 20 séculos mais tarde Heraclito e o seu devir veriam o triunfo. Mas Parménides, pela importância extrema das questões que levantou, conserva um lugar de destaque entre os pensadores de todos os tempos.

Vale a pena perder alguns minutos para comentar dois dos argumentos mais conhecidos do seu discípulo, Zenão de Elea, que nos foram transmitidos pelos escritos de Aristóteles.

1º ARGUMENTO – uma flecha em movimento percorre um segmento de recta; em cada instante a ponta da flecha ocupa o lugar de uma mónada . Mas o que acontece entre esse lugar e o seguinte? Nada! Porque nada pode acontecer onde nada existe, ou seja entre duas mónadas consecutivas. Logo, o movimento é uma sucessão de imobilidades; logo, não existe.

2º ARGUMENTO – Aquiles parte em perseguição de uma tartaruga, mas nunca a alcança. Porquê? Porque, por cada avanço de Aquiles, a tartaruga avança mais um pouco e esse raciocínio repete-se indefinidamente, havendo sempre um avanço da tartaruga sobre Aquiles.

Estes e outros argumentos abalaram profundamente a escola pitagórica. E deles resulta o seguinte:

-         existe na recta qualquer coisa que ultrapassa a simples justaposição de pontos, ou seja das mónadas; daí a noção de continuidade, ligada ao aspecto quantitativo da medida;

-         o fenómeno da incomensurabilidade põe uma nova concepção do infinito e do movimento.

Tudo isto, todo este emaranhado de teorias e de interpretação das coisas e dos movimentos, do espaço e do tempo, levou muitos séculos a evoluir.

Contra o que é habitualmente afirmado, o clima de Atenas foi mortal para o desenvolvimento da ciência clássica. A matemática grega toma uma feição cada vez mais finitista – invade-a o horror do infinito e o horror do movimento.

Só 20 séculos mais tarde, já Renascimento fora, estes problemas haviam de encontrar uma resposta.

II – A parte II FUNÇÕES – contém 4 capítulos

-         Estudo matemático das leis naturais

-         Pequena digressão técnica

-         Equações algébricas e números complexos

-         Excursão histórica e filosófica

Gostaria de ter tempo para comentar, com algum pormenor, essa meia dúzia de páginas admiráveis que autor intitulou “Ciência e lei natural” e que conduzem o leitor à compreensão da noção de função. Infelizmente, tal não cabe no tempo atribuído a esta intervenção.

Não posso, contudo, deixar de referir que se verifica neste capítulo aquilo que disse atrás e que constitui, a meu ver, o tema geral da obra: o objectivo final da ciência é definido como um corolário da existência do Homem sobre a Terra e das suas relações com o espaço que o rodeia. Passo a citar:

“… vimos como o Homem, na sua necessidade de lutar contra a natureza e no seu desejo de a dominar, foi levado, naturalmente, à observação e estudo dos fenómenos, procurando descobrir as suas causas e o seu encadeamento. Os resultados desse estudo, lentamente adquiridos e acumulados, vão constituindo o que, no decurso dos séculos da vida consciente da Humanidade, se pode designar pelo nome de CIÊNCIA. O conhecimento científico distingue-se, portanto, do conhecimento vulgar ou primário, pelo facto essencial seguinte: este satisfaz-se com o resultado imediato do fenómeno – uma pedra abandonada no ar, cai; uma leve pena de ave, abandonada no ar, paira ou sobe - ; aquele faz a pergunta: porquê? e procura dar uma resposta que dê uma explicação aceitável pelo nosso entendimento

        O objectivo da Ciência é, portanto, a formação de um quadro ordenado e explicativo dos fenómenos naturais – fenómenos do mundo físico e do mundo humano, individual e social” (Fim de citação)

Num ascender contínuo de aquisição de conhecimentos, numa progressiva apresentação de novos conceitos, o autor leva o leitor a percorrer novas estradas que convergem naturalmente na noção fundamental de que é a lei quantitativa que tem o primado no seio da Ciência Moderna. Antes disso, o leitor tomou contacto com as noções de isolado, de leis qualitativa e quantitativa, para chegar finalmente às noções de variável, de função, com as suas expressões analítica e geométrica, ao sistema cartesiano de referência e finalmente às leis analíticas e geométricas.

É esta nova relação, é esta noção de função que permite traduzir as leis analíticas em leis geométricas, unificando dois campos que, durante perto de 20 séculos, tinham vivido separados em compartimentos estanques.

No capítulo seguinte, Bento Caraça aborda o estudo do conjunto das leis operatórias, generalizando às variáveis aquele conjunto de leis já estabelecidas para os números. A seguir, refere e trata as funções racionais, as funções algébricas, as funções circulares, as funções transcendentes e, por último, as sucessões numeráveis ou funções de variável inteira.

Segue-se o capítulo das equações algébricas e números complexos, que abre com uma lição de história na qual Bento Caraça explica como, a partir de acontecimentos ocorridos no sec. IX, surge a palavra Al-jebr, que era o nome de um tratado da autoria de um árabe, Mohammed ibn Mûsâ al-Khowârizmi, bibliotecário do Califa. Esse tratado é o autêntico traço de ligação entre a matemática hindu (e, através dela, dos restos da matemática grega que tinham chegado à Índia) e a Europa; ocupava-se ele da resolução de equações de 1º e 2º grau e, em particular, da passagem de um termo de um membro para outro com troca de sinal. Essa operação foi denominada Al-jebr e acabou por designar tudo quanto diz respeito às equações.

A partir da resolução das equações de 2º e 3º grau Bento Caraça chega à definição da unidade imaginária, do campo complexo, sua construção e representação geométrica.

Como consequência da fórmula de MOIVRE surge a grande conclusão deste capítulo: “Todo o número, real ou complexo, tem n raízes de índice n”.

Com esta verdade, caiu, segundo Bento Caraça, o último reduto da impossibilidade e abriram-se novas perspectivas na medida em que os números complexos permitiram a unificação de resultados que, sem eles, ficariam sempre reduzidos a restos dispersos no campo real.

Esses factos confirmam a seguinte afirmação:

“o caminho entre duas verdades do campo real passa, muitas vezes, pelo campo complexo”

De todas as verdades que a história da matemática nos apresenta, a menor não é certamente esta: que antes dos números negativos serem considerados como verdadeiros números, já eram praticadas e conhecidas quase todas as regras sobre números complexos, coisa que parece simplesmente absurda, uma vez que os números complexos resultam de raízes quadradas de números negativos.

Para terminar este capítulo, Bento Caraça afirma:

“A noção de complexo e a noção de infinito são os dois principais instrumentos da Matemática moderna; no emprego generalizado desses instrumentos reside talvez a sua maior diferença em relação à matemática antiga”.

Esta parte II dos Conceitos Fundamentais da Matemática termina com um novo capítulo, designado por “Excursão histórica e filosófica”, no qual são retomados alguns problemas idênticos àqueles que, no capítulo IV da Parte I, se levantaram relativamente ao conceito de “número”, mas agora por exigência da “inteira clarificação do significado do conceito de função na história da civilização ocidental.” É um capítulo extremamente interessante mas demasiado longo para ser tratado aqui. Limitar-me-ei a recordar as suas últimas 4 linhas:

“Todas as coisas devem ser estudadas relativamente ao seu contexto. É nesse tribunal que devem ser julgados os resultados que os instrumentos analíticos, na sua forma mais geral, permitem adquirir.”

        III - A PARTE III - tem a designação genérica de “CONTINUIDADE”. Nela são tratados os seguintes temas:

-         Infinitésimos

-         Limites

-         Séries

-         Continuidade

Aqui, como nas duas primeiras partes do livro, os conceitos são apresentados, sempre que possível em relação ao seu contexto histórico, com referências aos astrónomos e matemáticos do sec. XVI, XVII, XVIII e XIX – da Vinci, Copérnico, Kepler, Galileu, Laplace, Newton e muitos outros.

A propósito da aplicação do método dos limites, não posso deixar de salientar a importância que, ao longo de todo o livro, é dada por Bento Caraça ao pensamento de Heraclito e do triunfo da sua concepção. Bento Caraça cita, a este propósito, as palavras de um matemático contemporâneo, Jacques Hadamard:

“Não é somente pela maneira de tratar os problemas que a ciência matemática moderna difere da que a precedeu: a partir do Renascimento, esta ciência foi transformada não somente nos seus métodos, mas no seu próprio objecto. Pode dizer-se que o papel de um precursor a este respeito, foi desempenhado pelo filosofo grego Heraclito que, no sec. V antes da nossa era, ensinava que o estudo do ser num estado determinado não se basta a si próprio e deve, de toda a necessidade, ser completado pelo do devir; que a consideração deste é indispensável à compreensão daquele. Esta intuição adivinhava o caminho que havia de seguir, precisamente, a ciência matemática, nos tempos modernos.”

E a noção de devir, tão querida a Bento Caraça, continua a estar presente no seguinte parágrafo, igualmente incluído no referido capítulo, com o qual caracteriza o método dos limites:

“O matemático moderno, adoptando em relação ao conceito de infinito uma atitude dinâmica, tomando-o audazmente, como elemento de construção, obtém o resultado que a experiência confirma e constrói o instrumento matemático que permitirá integrar o movimento no mundo da continuidade – o instrumento próprio, para o estudo matemático do devir – e que constituirá uma das principais alavancas do renascer daquele grandioso ideal – uma vez surgido e logo arruinado – da ordenação matemática do Cosmos. Encarado deste ponto de vista, o método dos limites constitui uma das mais belas vitórias da inteligência humana.”

No capítulo II, dedicado às séries, Bento Caraça regressa de novo à forma de diálogo entre o autor e o leitor, permitindo a este último que faça todas as perguntas a fim de que o autor lhe forneça as respostas possíveis. É aqui que se pode ler, a propósito da teoria das séries, o seguinte:

“A teoria das séries oferece-nos um dos mais flagrantes exemplos de como as necessidades actuam como aguilhões na criação dos conceitos, independentemente da sua ordenação lógica. Primeiro é preciso obter resultados e, para isso, criam-se os instrumentos precisos; as preocupações de rigor e de ordenação aparecem mais tarde.

Isto é a Ciência tal como ela se faz; por isso ela nos apresenta um tão maravilhoso entrançado de verdade e erro, uma convivência paredes-meias dos triunfos mais luminosos com os fracassos mais retumbantes.”

Para concluir, recordo as palavras de Bento Caraça que figuram no prefácio à primeira edição dos Conceitos Fundamentais da Matemática:

“A matemática é geralmente considerada como uma ciência à parte, desligada da realidade, vivendo na penumbra do gabinete fechado, onde não entram ruídos do mundo exterior, nem o sol, nem os clamores dos homens. Isto, só em parte é verdadeiro.”

Comentários Finais

 Com os seus Conceitos Fundamentais, Bento Caraça teve, entre outros, como objectivo demonstrar que a aprendizagem da matemática pode deixar de ser o apanágio dos Deuses, pode tornar-se acessível ao homem comum desejoso de se instruir. Várias vezes, ao longo do livro, se encontra a expressão “livrinho de vulgarização”, para caracterizar o seu livro.

Porém, os Conceitos Fundamentais estavam destinados a serem muito mais do que isso. Foi muito grande o interesse que o livro despertou, bem demonstrado pelas reedições sucessivas.

Quem se der ao trabalho de o ler, de o estudar, de o interiorizar, da primeira à última página, certamente não ficará por aí. Voltará a sentir o seu interesse redobrado por uma segunda leitura ou ainda uma terceira. Encontrará, de cada vez, mais coisas novas, encontrará novos apelos a consultar outros livros ou a estudar outras matérias.

É neste desfazer de um mito de sombra no qual, durante muito tempo, mergulhou a matemática, é neste jorrar de luz que torna claros e simples os seus contornos, quantas vezes pouco nítidos, que reside, a meu ver, o mérito principal de um livro que é, a todos os títulos, um livro excepcional.

Bento Caraça deixou uma obra escrita que abrange vastos domínios da cultura. Como mestre, como professor, as muitas gerações de alunos que lhe passaram pelas mãos fazem parte da sua obra humana, aquela talvez que ele mais prezou.

Bento Caraça era, contudo, um homem simples que tinha um diálogo fácil com o seu semelhante, quer se tratasse de um pastor da serra, quer do maior pensador do seu tempo.

Bento Caraça nunca esqueceu a terra onde nasceu – o seu Alentejo profundo. Contudo, algo de muito profundo também o trouxe e o fez viver, durante longos períodos, nestas terras onde hoje nos encontramos. Muitos o conheceram aqui. E era para aqui que sempre voltava, por puro prazer, ou para recuperar forças. Bento Caraça foi um serrano no verdadeiro sentido. Conhecia os caminhos da serra como ninguém e as descrições que deixou de alguns dos seus aspectos, em particular da Lapa dos Charcos, contam-se entre as mais belas páginas que escreveu.

Por isso, e para terminar, as minhas últimas palavras são para felicitar os meus dois colegas da Comissão Organizadora, Dr. Carlos Dobreira e Dr. Alexandre Martins e os seus colaboradores, por terem tido a iniciativa e a coragem de realizarem esta homenagem aqui, no coração destas serranias, onde a sombra, a imagem, a recordação, de Bento Caraça como que se encontram a cada esquina, como que se projectam em cada fraga dos caminhos da Serra por ele tantas vezes percorridos.